MIA  >  Biblioteca  >  Vasili Vasilievich Davydov > Novidades

<<< Índice

Estudos Soviéticos em Educação Matemática
Tipos de Generalização no Ensino: Problemas de Lógica e Psicologia na Estruturação dos Currículos Escolares

V. V. Davydov

4. O caráter empírico da generalização como uma das fontes de dificuldades em dominar o material de ensino

4.3 CARACTERÍSTICAS DO MÉTODO TRADICIONAL DE FORMAÇÃO DO CONCEITO DE NÚMERO PELAS CRIANÇAS

Juntamente com uma descrição geral do domínio do material escolar em matemática, é aconselhável considerar as características da formação de algum conceito pelos alunos. Destacamos, para esse fim, um conceito matemático tão importante como o conceito de número, que inicia o ingresso da criança na matemática escolar e que mantém sua finalidade ao longo do domínio da matemática na escola. Com esse exemplo, tentaremos descobrir os detalhes da aplicação da teoria empírica da generalização no desenvolvimento real dos conceitos pelos alunos.

Vamos considerar o método de familiarizar a criança do primeiro ano com o número no livro didático de Pchelko (1951) e de Polyak (1959), e dos autores juntos (1966), que tem sido usado por muito tempo em nossas escolas e nos manuais de métodos correspondentes.⁽¹⁾

Em um primeiro momento, o professor estabelece o alcance das informações em aritmética que as crianças obtiveram antes da escola: um conhecimento da sequência numérica, habilidade em contar grupos de objetos e em estimar o resultado da contagem. Claro, a experiência da criança em idade pré-escolar é bastante multifacetada – particularmente quando se trata de estimar relações matemáticas.⁽²⁾ Contudo, o professor revela apenas aqueles aspectos de sua experiência que estão diretamente ligados à contagem, pois é com isso que começa a entrada da criança na matemática.⁽³⁾

O livro começa com o tópico chamado Os primeiros dez números. Primeiro, é dada uma tarefa para distinguir entre bolas e lápis de acordo com o volume e o comprimento (mais-menos, mais curto-mais longo). Nas próximas duas páginas, a criança encontra problemas que exigem que ela estabeleça uma correspondência entre coleções de objetos reais (crianças, árvores, pepinos) e coleções de gravetos ou círculos: “Mostre tantos gravetos quanto árvores na imagem”, “Coloque tantos círculos quanto pepinos na foto” (PCHELKO, 151, p. 4-5). Ao fazer essas tarefas, a criança aprende a destacar objetos específicos de grupos deles e a igualar esse grupo a um conjunto de unidades padrão especiais, como bastões ou círculos (tantos deles são colocados quanto os objetos que foram destacados).

O próximo passo é que as crianças se familiarizem com números concretos, começando com um. Na página 7 do livro didático (PCHELKO; POLYAK, 1966) há uma imagem de um menino, um pouco mais abaixo há um cogumelo, depois um esquilo e um ouriço, e ao lado deles uma determinada conta no fio de um ábaco e um determinado ponto (uma configuração numérica). Todos eles são designados pelo numeral 1.

O número dois é dado na próxima página. Aqui há fotos de meninos, um par de patins, um par de esquis, uma bicicleta, pares de gravetos, miçangas e bolinhas. Ao lado está o numeral 2.

Os demais números até dez são dados de forma semelhante – apenas os objetos específicos mudam, mas seus conjuntos coincidem com os conjuntos de contas e pontos nas configurações, de acordo com o número de itens individuais. Ao estudar cada número, a criança deve formá-lo ligando uma unidade ao número precedente estudado anteriormente, bem como

considerando os grupos naturais de objetos que são caracterizados pelo número dado: por exemplo, ao estudar o número “quatro” ela deveria estar considerando quatro pernas em uma cadeira ou mesa, quatro pernas em um cavalo, um gato, etc., quatro pontos na configuração numérica, quatro painéis na moldura da janela. Este será o primeiro nível na abstração do número, o delineamento de seu aspecto quantitativo idêntico em vários agrupamentos do número (PCHELKO, 1951, p. 146, grifos do autor).

Então a criança aprende a fazer a contagem direta e reversa (ela domina a sequência de designações verbais dos números), descobre as relações entre os números (Cinco é maior que quatro, mas menor que seis), familiariza-se com a composição de o número dado (Seis é igual a dois, mais dois, mais dois), e aprende a escrever os numerais. Esse é o desenho geral do trabalho que é apresentado no livro didático. É implementado na prática de ensino com base em certas técnicas metodológicas. Indicaremos as básicos. O professor estabelece tarefas em que as próprias crianças criam certos grupos de objetos adicionando-os um a um (uma unidade de cada vez). Se uma cadeira for acrescentada a duas cadeiras, obtém-se uma fila de três cadeiras. Ao fazer esses exercícios usando vários objetos, a criança chega a uma regra geral: quando outra unidade é adicionada a dois ... três é o resultado; outra unidade produz quatro, e assim por diante. Os nomes dois, três e os demais são dados para todo o grupo, como um todo. Com cada nome de número, a criança deve desenvolver uma concepção adequada do grupo de objetos designados por esse número. Para isso, é importante fazer às crianças a seguinte pergunta: “Quantos objetos foi o resultado”? assim que eles fazem um grupo. A resposta – o nome do número – está associada a esse grupo. “A partir disso, o nome do novo número ganha um conteúdo totalmente definido e concreto. A dimensão do número concretiza-se através da dimensão da colecção de objetos cuja designação é essa” (PCHELKO, 1951, p. 144).

Aqui, é importante que as crianças tenham em mente o grupo de objetos como um todo. Contar em voz alta ajuda (contar batendo palmas ou batidas), em que todos os sons desaparecem, e se houver um erro, é impossível começar a contar desde o início, como é possível quando uma fileira de objetos pode ser contada e recontada. A criança obtém a concepção mais clara e correta de número quando o grupo é dado de forma facilmente visível. Isso é auxiliado pelo uso de configurações numéricas variadas que são usadas para formar concepções numéricas visuais. Por exemplo, o livro didático mostra uma coleção de objetos, uma configuração numérica para corresponder a ela e o numeral que a elas está associado, designando o número “quatro” (PCHELKO, 1951, p. 148) As configurações numéricas “são um meio de formar concepções concretas sobre números”. As configurações numéricas “são um meio de formar concepções concretas sobre números” (PCHELKO, 1951, p. 145). Elas ajudam a dominar as relações entre os números (cada número sucessivo é maior que seu predecessor e assim por diante).

As seguintes características internas são típicas deste esquema para familiarizar a criança com o número. Ao comparar muitas coisas com qualidades diferentes, a criança destaca algo semelhante ou comum nelas, acaba por haver uma separação de cada objeto de outro, certa restrição espacial ou temporal sobre eles. Há um objeto individual, e cada objeto contém esse tipo de individualidade ou separação externamente perceptível. Se essa separação é singularizada e destacada das outras propriedades de um objeto (e isso é exatamente o que ocorre quando o pensamento dos alunos passa gradualmente do menino de verdade através do cogumelo de verdade para qualquer um dos gravetos), obtemos a unidade. Cada objeto individual é uma unidade. Um grupo de objetos é um conjunto de unidades (uma coleção de indivíduos). Acima de tudo, a criança aprende a destacar em qualquer objeto observado essa peculiaridade que ele tem de ser uma entidade separada, e de abordar grupos de objetos apenas como conjuntos de unidades. Dessa forma, uma abstração de quantidade é formada. A habilidade da criança em descobrir certa quantidade de unidades em quaisquer objetos (meninos, rodas, gravetos, etc.), e ao designá-la por um número indica a presença de um conceito dessa quantidade, desse número. Assim se forma o conceito do número um, do número dois, e assim por diante.

Como é enfatizado em um manual de métodos (PCHELKO, 1951, p. 144-145), o conteúdo de cada um desses conceitos deve ser visualmente concebível para a criança, por trás de cada palavra numérica concreta deve haver uma noção de uma coleção apropriada de objetos. Uma vez que podem ser quaisquer objetos, as noções podem ser mais bem desenvolvidas usando configurações numéricas especiais que consistem em pontos facilmente vistos.

Um passo importante na formação do conceito de número é ser libertado de seus suportes visuais. Como isso se torna possível? Infelizmente, os livros didáticos, as metodologias e os trabalhos de psicologia não dão uma resposta definitiva a essa questão. Em essência, tudo se resume ao fato de que as crianças começam a memorizar os resultados expressos verbalmente das operações de adição e subtração, com os quais eles se familiarizam depois de contar: “Um e um são dois, dois e um são três; um mais dois são três”, e assim por diante (PCHELKO, 1951, p. 147-149).

Nos capítulos anteriores, consideramos em detalhes os pré-requisitos epistemológicos da teoria empírica da generalização e da formação de conceitos. O método estabelecido de formar o conceito de número dos alunos pode servir como uma ilustração altamente típica para o que dissemos.

Assim, o aspecto quantitativo dos objetos é delineado pela comparação de grupos de objetos muito diferentes e expressa sua propriedade similar formalmente comum, a de ser um conjunto de coisas individuais, cujos elementos não estão realmente ligados uns aos outros, não dependem uns dos outros e não constituem uma unidade real. Cada um desses elementos não perde nada se for removido do grupo e considerado uma unidade independente. A unidade de tais unidades independentes só é possível em um conceito, em um plano mental, em um sistema verbal. Como se vê, esta abordagem do conceito de número, intrínseca à metodologia de ensino tradicional e à sua fundamentação psicológica, tem um carácter nominalista distinto e francamente expresso.

O método de destacar uma unidade é o de abstrair e generalizar uma propriedade externa sensorialmente dada, como sua individualidade ou separação. O conteúdo do conceito de uma unidade e de um conjunto de unidades inclui apenas o que foi observado diretamente no início. As relações de número par podem ser contempladas ao operar com configurações de número, por exemplo. A diferença entre um conceito e uma concepção consiste principalmente em operar com número sem meios visuais, em um sistema verbal. A função do conceito envolve uma diferenciação clara dos diferentes conjuntos de unidades com uma precisão de até uma unidade. A atitude sensacionalista unilateral é claramente vista neste tipo de interpretação das fontes de um conceito, uma interpretação que tem sido adotada na metodologia e na psicologia para o ensino de aritmética.

Cada conjunto de unidades a serem diferenciadas recebe uma marca particular no nível verbal: está ligada à palavra numeral por associação. Compreender tal palavra significa ter uma concepção clara da coleção concreta de objetos. O termo associação, aqui, tem precisamente o significado que lhe é atribuído pelos adeptos da natureza associacionista da atividade intelectual. Se for levado em conta que a psicologia associacionista representou toda ideia abstrata como a expressão do que é semelhante ou geral em um grupo de impressões sensoriais, então a conexão entre a metodologia tradicional e essa psicologia pode ser interpretada como algo não acidental.

Segundo o conceitualismo dessa teoria, falta à metodologia a tarefa de formar nas crianças a operação particular, específica que lhes revela o objeto do conceito de número (essa operação é substituída por uma comparação formal de grupos de objetos). Como mostra uma análise especial (veja seus resultados na série de nossos trabalhos DAVYDOV, 1962; [s.d.]; EL’KONIN, 1966), encontrar a relação do múltiplo para quantidades em que uma delas é uma medida para expressar a outra é uma operação desse tipo. A necessidade de determinar esse tipo de relação e registrá-la em forma de número surge em uma situação de equalização mediada de quantidades (DAVYDOV, 1962). Aqui, a escolha de uma medida para contagem ou medição que leva a certa descrição numérica das quantidades depende da situação existente, da experiência comum, e assim por diante. Em qualquer caso, a medida (unidade) de contagem ou de medição não precisa coincidir com o objeto individual em suas propriedades físicas (essa medida pode ser composta).

A relação entre uma quantidade e qualquer outra que é tomada como medida é registrada na forma de um número; ou seja, nas unidades de um agrupamento padrão. Portanto, as unidades incluídas em um número não coincidem com as partes de um objeto que são destacadas pela medida e que podem consistir nos elementos próprios. Na metodologia tradicional de familiarização das crianças com o número, as unidades de um número e o físico, os objetos individuais são precisamente o que são identificados. A criança não diferencia claramente entre o próprio objeto de contagem e os meios de registro do resultado. Esse é um defeito essencial no conceito de número. Ele aparecerá quando a criança não puder contar ou medir usando medidas arbitrárias especificadas com antecedência. Além disso, ela identificará os elementos de um objeto com as unidades de um número.

Para verificar essa hipótese, realizamos uma investigação sobre as características do conceito de número entre alunos da primeira série que o dominam pela metodologia aceita (na série/ano 1A, a investigação decorreu de fins de janeiro até a primeira quinzena de fevereiro, e na série/ano 1B, a partir do fim Fevereiro até a primeira quinzena de março de 1961). As crianças somaram e subtraíram livremente os dez primeiros números, foram bem orientadas na construção da série numérica (qual número é 1 ou 2 menor ou maior que um especificado, e assim por diante), contou grupos de objetos correta e rapidamente (gravetos, grãos de milho, mesas) e comparou grupos de acordo com suas características numéricas. Os alunos estavam familiarizados com determinadas unidades de medida (o metro, o centímetro, o quilograma, o litro). Eles já haviam observado repetidas vezes o uso dessas unidades para medir comprimento, peso e volume.⁽⁴⁾ Todos os alunos tinham um domínio completo da parte do currículo que prescreve o escopo da informação necessária para a contagem deliberada (de acordo com os requisitos usuais para isso) bem como para entender o significado da medição.

Cada aluno individualmente deveria realizar cinco tarefas substancialmente diferentes daquelas que ele havia feito em sala de aula, mas que pressupunham o uso do conceito de número.

Tarefa 1. O pesquisador dá ao aluno um painel de madeira (50 cm) e pede-lhe que traga um painel do mesmo comprimento de outra sala. Contudo, é impossível trazer o modelo com ele – apenas um pequeno bastão (10 cm) pode ser levado. Objetivo da tarefa: descobrir se o aluno é capaz de produzir uma equalização mediada por meio de números.

Tarefa 2. Há 12 blocos que foram divididos em 4 partes sobre uma mesa (três blocos em cada parte). O pesquisador questiona: “Quantos tem aqui?” sem indicar a unidade de contagem (fila ou bloco). Essa tarefa esclareceu se o aluno havia percebido a imprecisão da questão e se ele exigiria uma especificação (Quantos de quê?) ou ele mesmo escolheria uma unidade.

Tarefa 3. O aluno recebe uma fila de 20 blocos e uma unidade de contagem é indicada – parte de uma fila que consiste em quatro blocos (é demonstrado, mas o número não é nomeado): “Quantos desses tem aqui?” (A parte dos blocos é destacada e exposta). Depois de contar e responder (“Tem cinco desses aqui!”), o aluno faz tarefas adicionais: “Dê-me um desses cinco,” “Faça mais um (ou menos).” Objetivo da tarefa: descobrir habilidade em encontrar a relação entre um objeto e uma unidade de contagem dada antecipadamente (um elemento de grupo) e habilidade em destacar um ao correlacionar parte de um objeto e a unidade.

Tarefa 4. Dois painéis que foram combinados (20 cm cada) e uma medida (10 cm) são mostrados ao aluno. A questão: “Quantas dessas (medidas), de comprimento, irão aqui (nos dois painéis)?” Depois da resposta (quatro), há outras questões: “Para onde irão essas quatro (medidas)?”, “Quais são as quatro (medidas)?”, “Mostre onde duas dessas quatro (medidas) irão.” Objetivo da tarefa: descobrir habilidade em correlacionar um número com um objeto a ser medido, por meio de uma medida que foi utilizada.

Tarefa 5. Uma fileira de potes (dois “grandes” e dois “pequenos”, cada um igual à metade de um “grande”) é colocada na frente do aluno. O pesquisador explica: “Dois desses frascos pequenos cabem nesse grande” – essa circunstância é demonstrada derramando água. Em seguida, uma tarefa que consiste em duas partes é dada: 1) “Quantos desses potes de água podem ser derramados aqui (toda a fileira de potes é mostrada) (se a medida for o pote pequeno)? Você sabe que dois desses pequenos frascos cabem em um grande”, e 2) “Quantos desses potes (o pote grande é mostrado) cabem ali (a fileira é mostrada)?” Objetivo da tarefa: revelar a habilidade da criança em usar uma unidade que não coincide com os elementos particulares da série ao contar.

Essas tarefas foram apresentadas com material e de uma forma que persuade a criança a contar os blocos específicos (frascos) e a identificar as unidades em um agrupamento padrão (“um”) com um bloco individual (pote). Superar essas influências de persuasão pressupõe a capacidade de fazer uma conexão clara entre a pergunta “Quantos?”, e uma indicação da unidade de contagem apropriada (unidade de medida) e uma capacidade de destacar um ao correlacionar parte de uma entidade com a unidade especificada.

De acordo com o desempenho em cada tarefa, subdividimos todos os sujeitos em três grupos: 1) alguns alunos fizeram a tarefa de forma independente e corretamente ao mesmo tempo; 2) outros primeiro fizeram errado, mas depois, com certa ajuda do investigador, corrigiram seus erros; e 3) finalmente, outros ainda não realizaram a tarefa, mesmo com a ajuda do investigador (perguntas sugestivas, explicações da situação e afins). A Tabela 5 mostra os dados sobre o número de alunos atribuídos a esses grupos durante a execução de cada tarefa (28 em uma turma e 25 na outra).

Os resultados para a série/ano grau 1B, que foi testada/o um mês depois, são melhores do que os resultados para a série/ano 1A (basicamente pelo número de crianças que receberam ajuda do investigador). É aconselhável combinar os dados das/os duas/dois séries/anos para consideração posterior. O total de 265 tarefas foi recebido por todos os 53 alunos. Desse total, 82 tarefas (31%) foram feitas de forma independente e sem erros, 111 (42%) foram feitas com erros e com ajuda do investigador, e 72 (27%) não foram feitas. Apenas 2 alunos fizeram todas as cinco tarefas de forma independente e sem erros, 1 aluno fez quatro tarefas dessa maneira, 8 alunos fizeram três tarefas, 16 alunos cada um fez duas e uma tarefa, e 14 alunos não conseguiram fazer nenhuma tarefa sozinhos. Assim, a maioria dos sujeitos (42) ou não conseguiu realizar as tarefas, ou conseguiu fazer apenas uma ou duas das cinco.⁽⁵⁾

As últimas três tarefas (terceira, quarta e quinta) usaram material relativamente semelhante e tiveram objetivos semelhantes (diferiram um pouco das duas primeiras tarefas). Além disso, as condições mais nítidas para destacar uma unidade foram criadas nelas. Vamos citar os dados sobre o desempenho dessas três tarefas separadamente. Os sujeitos receberam 159 dessas tarefas. Delas, 61 tarefas (38%) foram feitas de forma independente e sem erros, 71 (45%) foram feitas com erros e com ajuda do investigador, e 27 (17%) não foram feitas. Entre os alunos que as receberam, 9 fizeram todas as 3 tarefas sozinhos e sem erros, 5 alunos fizeram 2 tarefas, 21 fizeram uma tarefa, e 18 não fizeram nenhuma. Assim, a maioria dos sujeitos (39 deles) não conseguiu nada, ou fez apenas uma dessas 3 tarefas por conta própria.

Os dados numéricos mostram que, ao realizar essas tarefas, muitos alunos da primeira série/primeiro ano tiveram dificuldades significativas. De todas as 5 tarefas, 31% foram feitas de forma independente e sem erros, e 38% do grupo de 3 tarefas foram feitas dessa maneira. Apenas um pequeno número de crianças fez 5 ou 4 tarefas sem erro (de todas as 5), e 3 ou 2 tarefas no grupo especial.

Vamos considerar brevemente as características das operações dos sujeitos durante a execução de tarefas específicas e o caráter dos erros aqui observados (uma apresentação detalhada dos materiais apropriados está contida em outro trabalho nosso [DAVYDOV, 1962]). Ao realizar a primeira tarefa, alguns dos sujeitos (9 pessoas de 53, nas/os duas/dois séries/anos) mediram o painel do modelo com o bastão pequeno e, em seguida, encontraram o outro painel necessário na outra sala com a ajuda do número resultante e do mesmo bastão. Essas crianças, em seu relato sobre o método de operação, normalmente usavam as palavras medido, tirado [a medida] e assim por diante. Elas evidentemente tinham uma boa compreensão do significado da medição, embora suas habilidades nessa operação (na medição do comprimento) ainda estivessem pouco desenvolvidas. As crianças do segundo grupo (33 delas), depois de receber a tarefa, imediatamente saíram em disparada e tentaram encontrar o painel necessário à vista. O pesquisador apontou a possibilidade de usar o bastão, mas eles não deram atenção a isso. Somente após uma série de perguntas indutoras ou mesmo uma indicação direta da necessidade de medir é que essas crianças usaram o bastão como unidade de medida e obtiveram um certo número. Mais tarde, no entanto, muitas vezes elas se esqueciam de levar o dispositivo de medição quando iam para a outra sala. Finalmente, o terceiro grupo de crianças (11 pessoas) não entendeu o ponto da situação. Ainda, mesmo depois de medir o painel modelo – quando o pesquisador solicitou isso diretamente – essas crianças não sabiam o que fazer a seguir, como aplicar o número resultante.

Na segunda tarefa, 12 pessoas fizeram a pergunta de retorno imediatamente: “quantos do quê? Blocos?” e ao receberem a confirmação, contaram as unidades. Outras 7, sem essa pergunta de réplica, contaram os grupos de blocos (filas pequenas, linhas pequenas) imediatamente, a partir de sua própria percepção, e somente com a ajuda do pesquisador elas encontraram outra possível unidade de contagem. As outras 34 imediatamente começaram a contar os blocos individuais sem qualquer hesitação, sem se desencorajar pela presença de linhas claramente delineadas.

Na terceira tarefa, quase todos os alunos fizeram uso adequado da unidade de contagem indicada (o grupo de quatro blocos) e obtiveram o número 5. Mas então, ao pedido de dar um desses cinco e fazer mais um,⁽⁶⁾ apenas 13 pessoas primeiro afastaram parte da linha igual à unidade de contagem e depois aumentaram na mesma parte (alguns chamavam de pilha ou fileira). Para 29 pessoas no segundo grupo, houve erros inicialmente. Desses alunos, três indivíduos, ao destacar um, imediatamente separaram o número necessário de blocos, mas ao aumentar em um, moveram um único bloco para aquela parte. Apenas com dicas complementares do pesquisador: “Isso está certo? Do que nós temos cinco?” – eles destacaram um, de acordo com a unidade de contagem. Outros 26 desses 29 alunos reservaram um único bloco desde o início.

Somente com a ajuda do pesquisador, que às vezes demonstrava diretamente a unidade de contagem usada anteriormente, essas crianças começaram a destacar um adequadamente nas condições apresentadas. O terceiro grupo de sujeitos (11 deles) cometeram erros, mesmo com ajuda muito persistente. Essas crianças selecionaram apenas um bloco específico, embora o pesquisador tenha demonstrado clara e repetidamente a unidade real de contagem para elas.

Na quarta tarefa, todas as crianças fizeram a medição corretamente e indicaram seu objeto e a medida. Então, quando solicitado que destacassem, no objeto, a parte igual a duas medidas, 28 pessoas imediatamente entregaram ao pesquisador um dos painéis (era 20 cm e a medida era 10 cm). Outras 19 pessoas cometeram um erro no início – trouxeram os dois painéis que compunham o objeto da medição. Contudo, com a ajuda do pesquisador para demonstrar a medida, elas conseguiram realizar essa tarefa corretamente. Outros 6 alunos ainda deram ambos os painéis como resposta ao pedido, mesmo após um delineamento claro do fato de que ambos os painéis contêm quatro medidas de comprimento.

A quinta tarefa foi realizada de forma independente e correta por 20 alunos (as respostas seis e três foram de acordo com as unidades de contagem). A maioria das crianças fez a primeira parte da tarefa (a unidade era uma pequena jarra) adicionando: “Aqui tem dois, mais dois, outro um e mais um – seis”. Quase todos esses alunos fizeram a segunda parte da tarefa (a unidade era uma jarra grande) contando com a noção de metade: “Aqui tem um, aqui tem um, aqui tem meio, outro meio – três ao todo”. Assim, um se destacou aqui, não por uma relação direta com a unidade de contagem, mas de forma indireta (e foi eficiente). Um dos sujeitos ainda usou a medida diretamente. Ele pegou o pote grande na mão e aplicou primeiro em cada grande, depois nos dois pequenos (“Um, dois, ... três”).

O Segundo grupo de crianças (23 delas) fez a primeira parte da tarefa de forma independente e correta. A maioria agia da seguinte forma: tocava com os dedos a parte de cima da jarra grande, depois a de baixo (“Um, dois”), repetia a mesma coisa na segunda jarra (“três, quatro”) e terminava contando com os pequenos (“cinco, seis”). Contudo, na segunda parte da tarefa, elas cometeram um erro –consideraram cada jarro pequeno como um, da mesma maneira que o grande (uma resposta de quatro, em vez de três). A ajuda do pesquisador foi necessária e, para alguns alunos, absolutamente essencial para que tomassem os dois pequenos frascos como um. Finalmente, os 10 sujeitos restantes nunca foram capazes de realizar essa tarefa corretamente, embora o pesquisador tenha demonstrado a eles várias vezes que o pote grande continha dois potes pequenos de água.

Vamos dar um resumo geral da execução de todas as tarefas. Para a maioria das crianças, uma situação que requer uma comparação mediada foi inesperada – e eles foram incapazes de resolvê-la por conta própria. Normalmente, apenas 12 alunos (de 53) entenderam a imprecisão da pergunta “Quantos?”; mas muitas crianças (34) imediatamente passaram a contar blocos individuais, embora as fileiras também estivessem claramente delineadas no material. Todos os alunos operavam livremente com a unidade de contagem composta por vários blocos, quando ela foi sobreposta diretamente na fileira – aqui, um significava o resultado da correlação dessa unidade com parte da fileira (Tarefa 3). Entretanto, 40 pessoas cometeram um erro ao delinear um sem essa sobreposição externa. Para o número um, eles foram orientados para um único bloco, embora tivessem acabado de obter o número cinco, trabalhando com elementos de grupo. Uma dificuldade semelhante em destacar parte de um objeto comparando-o com a unidade de medida e o número também foi observada na quarta tarefa (aqui, 25 alunos cometeram um erro).

Os resultados da execução da quinta tarefa são de particular interesse. Todas as crianças operaram livremente com a medida igual ao pote pequeno. Eles não esqueceram que um pote grande era igual a dois pequenos. Muitos tocaram o pote grande duas vezes com os dedos para delinear suas partes e designá-las por números (“Um, dois”).

Contudo, a situação mudou substancialmente com uma medida diferente: 33 alunos erraram ao tomar cada pote pequeno como um, parecendo esquecer que um pote pequeno não era igual a um grande. Os elementos individuais em uma fileira foram novamente designados por números sem correlação com a unidade de contagem.

Assim, muitos dos alunos da primeira série/ do primeiro ano que investigamos mostraram uma tendência distinta para contar apenas objetos específicos, para identificar as unidades em um agrupamento padrão (“um”) com um objeto específico no próprio agrupamento contado, bem como dificuldades em destacar as partes do agrupamento por meio de correlação com a unidade real de contagem e medição.⁽⁷⁾

Essas características próprias do conceito de número que as crianças formam são uma consequência dos objetivos básicos da metodologia de ensino adotada, objetivos cujo significado teórico foi considerado acima em detalhes. Em situações que exigem uma compreensão do significado da unidade de um agrupamento padrão, muitas crianças não levaram em conta a circunstância de que tal unidade designa a relação entre qualquer parte física de um objeto e qualquer medida que tenha sido previamente especificada. Ao mesmo tempo, é esse entendimento que caracteriza, em particular, o rigor da orientação da criança em relações quantitativas usando números.

continua>>>

Início da página

Notas de rodapé:

(1) N. A.: Recentemente, outro livro didático (MORO; BANTOVA, 1969) está sendo introduzido, mas o método de familiarização com o número permaneceu o mesmo em princípio, aqui. (retornar ao texto)

(2) Uma descrição da experiência matemática de crianças que estão entrando na escola é citada, por exemplo, na obra de Chekmarev (1960). (retornar ao texto)

(3) N. A.: “[...] A tradição escolar”, escreve Markushevich (1968, p. 29), “tira de toda a rica experiência matemática que a criança traz para a escola com ela, apenas com o que diz respeito à contagem e figuras geométricas elementares [...]”. (retornar ao texto)

(4) N. A.: Os alunos da primeira série com quem o trabalho foi feito, quase um mês depois já haviam passado a fazer a operação de multiplicação. (retornar ao texto)

(5) N. A.: Nesse caso, significa uma execução totalmente independente e sem erros das atribuições. Contudo, a correção de erros com a ajuda do investigador (o segundo grupo de sujeitos) ocorreu quando houve alguma influência instrutiva dele. (retornar ao texto)

(6) N. A.: Notamos que a exigência de dar um seguia a obtenção do número 5 pelos próprios sujeitos, e era acompanhada de uma ênfase de que um desses cinco deveria ser dado. (retornar ao texto)

(7) N. A.: Em testes auxiliares do estado de contagem em várias outras primeiras séries (final do ano letivo), foram obtidos dados análogos aos descritos (mas uma flutuação no número de crianças aptas ou não aptas à ajuda do investigador foi observado). Como mostrou um estudo de Agiyants (1970), os alunos da primeira série que trabalham no novo livro didático (MORO; BANTOVA, 1969) apresentam os mesmos defeitos básicos no conceito de número que indicamos acima. (retornar ao texto)